Combien de temps par jour devrais-je passer à étudier le japonais ?

Autant que vous voulez. Bon, en dessous de 15 minutes ça fait un peu court et vous progresserez très lentement. Si vous débutez, 1~2h/jour c'est bien je pense (ce n'est que mon avis). Après si vous avez le temps et l'envie, faites-en plus, autant que vous voulez.
　
Mais j'ai pas le temps moi. J'ai d'autres trucs à faire à côté.
Comme plein de monde. Bien sûr, on peut avoir des périodes vraiment très chargées où on n'a pas une minute pour soi. Mais souvent, quand on analyse vraiment ce qu'on fait de nos journées, on voit qu'on a plus de temps que ce qu'on croit.
　
Faites selon vos envies et vos disponibilités, en restant le plus régulier possible. Essayez d'en faire au moins 1 fois tous les 2~3 jours pour être sûr de bien progresser. Trop de temps sans en faire vous fera oublier ce que vous avez appris, et vous perdrez du temps à "rattraper" ça. Préférez en faire un peu tous les jours, que beaucoup une fois par semaine.

Dans quel sens se lit et s'écrit le japonais ?
Traditionnellement ça s'écrivait (et donc se lisait) en colonnes de haut en bas, en allant de la droite vers la gauche. C'est toujours le cas dans les mangas et les livres. Sinon, c'est comme en français : en lignes de gauches à droite, en allant de haut en bas.

Après si vous faites de la calligraphie et/ou que vous achetez du papier spécial, ça peut être à la verticale. Je ne suis pas expert en la matière, donc je ne dirai que ça.

Faut-il respecter l'ordre des traits ?

Oui. Ça peut sembler être un effort supplémentaire, mais c'est juste une méthode qui marche, et qui deviendra rapidement une habitude, vous n'y ferez plus attention. Le fait d'écrire systématiquement de la même façon vous aidera à mémoriser le caractère que vous écrivez, et à écrire plus vite. Connaître l'ordre peut aussi aider à retrouver un kanji dans un dictionnaire. Quand un caractère n'est pas écrit correctement, c'est moins beau et ça se remarque.

Si vous voulez l'ordre des kanas, je vous redirige .
Pour l'ordre des kanjis, vous pouvez consulter ou utiliser par exemple.